Дела

Вершина параболы

Науколандия

Статьи по естественным наукам и математике

Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.

Квадратичная функция имеет вид: y = ax 2 + bx + c.

Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:

Однако формулу координаты y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y .

Например, если дана функция y = 2x 2 – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:

Координату же y вычислим, подставив найденный x в саму функцию:

y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3

Таким образом, вершина графика функции y = 2x 2 – 4x + 5 находится в точке с координатами (1; 3).

В остальном парабола квадратичной функции вида y = ax 2 + bx + c такая же как функции вида y = ax 2 . Отличие лишь в сдвиге вершины по сравнению с функцией y = ax 2 . Так в приведенном выше примере (y = 2x 2 – 4x + 5) парабола будет по форме и направлению ветвей такой же, как для функции y = 2x 2 . Разница лишь в координатах вершин парабол.

Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата. Как известно функции вида y = f(x + l) + m отличаются от функций y = f(x) сдвигом из графиков по оси x на –l и по оси y на m. Именно l в преобразованной квадратичной функции оказывается равным –b/2a, а m = (4ac – b 2 ) / 4a. То есть l и m — это координаты x0 и y0 соответственно.

Доказывается это применением метода выделения полного квадрата к квадратному трехчлену общего вида ax 2 + bx + c. При этом выполняются следующие преобразования:

  1. 1. Объединим первые два члена многочлена: y = (ax 2 + bx) + c
  2. 2. Вынесем коэффициент a за скобку, при этом b разделится на a:
  3. 3. Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы. Одночлен (b/a)x умножим на 2 и разделим на 2 одновременно. Также прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получим:

  • 4. Выделим квадрат суммы:
  • 5. Умножим на a:
  • 6. Приведем к общему знаменателю свободные члены:
  • 7. Поменяем знак:
  • Таким образом, мы привели функцию y = ax 2 + bx + c к виду y = a(x + l) 2 + m, что соответствует функции y = f(x + l) + m, где f(x) = ax 2 . А как строить графики последней известно.

    Как найти вершину параболы и построить ее

    В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. Корни квадратных уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.

    Квадратное уравнение в общем виде имеет следующую структуру:

    В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:

    В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти корни уравнения. После этого к ним приравнять многочлен и найти х.

    Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а 2 +3а+2=0.

    При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:

    Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.

    Как найти вершину параболы

    Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:

    где хвп- это значение х-координаты искомой точки.

    Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:

    Находим значение х-координаты для вершины параболы:

    Находим значение у-координаты для вершины параболы:

    В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).

    Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную ось симметрии. По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное – это произвести правильные расчеты координат точек.

    Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.

    Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке – вверх.

    Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.

    Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.

    Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:

    где Д – это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.

    Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.

    После этого отмечаем на координатной плоскости вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.

    Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет ось симметрии, при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    1 + 3 =